第四百二十二章 提出问题和解决问题（5/5）

2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的euler示性数满足

lnx2n01当截面曲率为负时，上式为严格不等式。

nf猜想。

nf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作nkarcherl，donnellyxavier以及jostx间。

nrel对非紧型秩1对称空间证实了猜想。

如果，流形具有kshler度量，在负截面曲率情形，猜想已被groov所证实，在非正截面曲率情形则被jostzuc以及caoxavier所证实。”

……

“第三个问题，卡普兰斯基第六猜想。”

“卡普兰斯基第六猜想是卡普兰斯基在1975年提出的关于霍普夫代数的十个猜想之一，也是目前霍普夫代数乃至代数学领域研究的前沿问题之一。霍普夫代数起源于二十世纪四十年代，主要是由霍普夫对lie群的拓扑性质的公理性研究而建立的一种代数系统。

nsto在研究lie群的应用及后续研究中，发展和丰富了霍普夫的这一代数系统的理论，奠定了霍普夫代数理论的基本框架。

二十世纪八十年代，随着drfeld和ji等数学家建立的量子群理论的兴起，人们发现量子群是一类特殊的霍普夫代数。量子群理论与众多其他数学领域，如低维拓扑、表示论以及非交换几何以及统计力学精确可解模型理论、二维共形场论、角动量量子理论等有着紧密的联系。

量子群理论的兴起也促进了霍普夫代数理论的迅猛发展，围绕卡普兰斯基的十个猜想取得了许多精彩的研究成果，导致其中若干猜想的解决或部分解决。

卡普兰斯基第六猜想设h是代数闭域上的有限维半单霍普夫代数，则h的任一不可约表示的维数整除h的维数

这一猜想与有限维半单霍普夫代数的分类紧密相关，吸引了众多代数学家的兴趣。

zhu在1993年利用特征标理论研究了卡普兰斯基第六和第八猜想，得到了部分结果。

他证明了若char40，h半单且rh在h的对偶代数的中心中，其中rh为h的不可约特征标所张成的ji的子代数，则卡普兰第六猜想成立。

nnd在1996年通过分析h的格罗滕迪克群的环结构证明:若h是余半单的且有一个2维单余模，则h是偶数维的。

neki在研究拟三角半单余半单霍普夫代数的结构和提升问题时证明:若丑是半单余半单hof代数，d{h是h的drfelddouble，则dh的不可约表示的维数整除h的维数。

由此他们证明如果h是拟三角的半单余半单霍普夫代数，则h的不可约表示的维数整除的。”

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